Quantitatives Problemlösen beginnt damit, eine Frage in eine passende mathematische Beziehung zu übersetzen. In diesem Leitfaden von Zulassungscoach zeigen wir dir deshalb bei jedem Beispiel nicht nur die Rechnung, sondern auch, warum sie zur Frage passt und wie du das Ergebnis kontrollierst. Unser Ziel für deine Übung: Du erkennst die gesuchte Größe, die Einheiten und die Bedingungen und kannst den Lösungsweg anschließend auf eine neue Aufgabe übertragen.
Die HSG nennt quantitatives Problemlösen als einen Bereich ihres Bachelor-Auswahltests. Die folgenden Aufgaben haben wir als eigene didaktische Beispiele entwickelt. Mit ihnen erklären wir ausgewählte Methoden, keine offiziell bestätigte vollständige Stoffliste. Es handelt sich nicht um Originalprüfungsfragen.
Ein Rechenweg braucht zuerst eine Frage
Lies vor jeder Rechnung den letzten Fragesatz genau. Wird ein Endwert, eine Differenz, ein Anteil oder eine Anzahl gesucht? Schreibe die gesuchte Größe möglichst in einem kurzen Satz auf. „Gesucht sind Franken pro Person“ lenkt deine Rechnung anders als „Gesucht sind die gesamten Kosten“.
Ordne danach die gegebenen Größen. Nicht jede Zahl im Text muss verwendet werden. Eine Information über das Gründungsjahr eines Vereins kann für eine Beitragsrechnung irrelevant sein; die Anzahl zahlender Mitglieder dagegen nicht. Entscheide anhand des Zusammenhangs und nicht danach, welche Zahlen zufällig leicht miteinander verrechnet werden können.
Wir empfehlen dir für die Übungen diesen Arbeitsablauf in fünf Schritten. Er macht sichtbar, wo ein Fehler entsteht, statt nur richtig und falsch zu unterscheiden:
- Gesuchte Größe und Einheit benennen.
- Benötigte Angaben auswählen.
- Beziehung oder Gleichung festlegen.
- Rechnung nachvollziehbar durchführen.
- Ergebnis an der ursprünglichen Frage prüfen.
Mit wachsender Sicherheit musst du diese Schritte nicht ausführlich ausschreiben. Beim Lernen sollten sie aber sichtbar genug bleiben, um Fehler zu erkennen. Eine alleinstehende Zahl lässt kaum erkennen, ob du die richtige Idee hattest oder zufällig zum Ergebnis gekommen bist.
Beispiel 1: Vom Gesamtpreis zum Stückpreis
Eigene Übungsaufgabe: Eine Lerngruppe kauft 24 gleiche Notizbücher für insgesamt 84 Franken. Eine zweite Gruppe möchte 15 Notizbücher zum gleichen Stückpreis bestellen. Wie viel bezahlt sie?
Gesucht ist der Preis für 15 Stück. Aus dem ersten Einkauf ermittelst du den Preis für ein Stück: 84 geteilt durch 24 ergibt 3,50 Franken. Multipliziert mit 15 sind das 52,50 Franken.
Eine zweite Rechnung bestätigt das Ergebnis: 15 von 24 entspricht fünf Achteln. Fünf Achtel von 84 sind ebenfalls 52,50. Beide Wege beruhen auf derselben Voraussetzung, nämlich einem unveränderten Stückpreis. Wenn die Aufgabe Mengenrabatte nennen würde, müsstest du diese zusätzliche Bedingung berücksichtigen.
Die Plausibilitätskontrolle ist schnell: 15 ist mehr als die Hälfte von 24, aber weniger als 24. Der neue Preis muss daher zwischen 42 und 84 Franken liegen. Das beweist die genaue Antwort noch nicht, würde aber ein Ergebnis von 126 Franken sofort verdächtig machen.
Typischer Fehler: 84 durch 15 teilen. Damit würdest du einen Stückpreis berechnen, als hätte der erste Einkauf 15 Stück umfasst. Die Zuordnung von Preis und Stückzahl wäre vertauscht.
Beispiel 2: Prozentänderungen hintereinander
Eigene Übungsaufgabe: Ein Artikel kostet 240 Franken. Der Preis wird zuerst um 15 Prozent gesenkt und später um 10 Prozent auf den reduzierten Preis erhöht. Wie hoch ist der neue Preis?
Nach der Senkung bleiben 85 Prozent des Ausgangspreises: 240 mal 0,85 ergibt 204 Franken. Die anschließende Erhöhung bezieht sich auf diese 204 Franken. Multipliziere deshalb mit 1,10. Das ergibt 224,40 Franken.
Der Endpreis liegt 15,60 Franken unter dem Ausgangspreis. Bezogen auf 240 Franken ist das eine Senkung um 6,5 Prozent. Du kannst das auch über die Faktoren kontrollieren: 0,85 mal 1,10 ergibt 0,935. Es bleiben also 93,5 Prozent des ursprünglichen Betrags.
Die Prozentwerte einfach zu verrechnen und eine Senkung um fünf Prozent anzunehmen wäre falsch. Die beiden Änderungen beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Eine häufige Lernregel lautet deshalb: Bei aufeinanderfolgenden relativen Veränderungen die passenden Faktoren nacheinander anwenden.
Variiere das Beispiel selbst. Was passiert bei 20 Prozent Senkung und anschließend 20 Prozent Erhöhung? Aus 100 werden zunächst 80 und dann 96. Gleiche Prozentwerte in Gegenrichtungen führen wegen der veränderten Basis nicht automatisch zum Ausgangspunkt zurück.
Beispiel 3: Ein Verhältnis auf eine Gesamtsumme übertragen
Eigene Übungsaufgabe: Zwei Arbeitsgruppen teilen 168 Karteikarten im Verhältnis 3 zu 5. Wie viele Karten erhält jede Gruppe?
Das Verhältnis besteht aus insgesamt acht gleich großen Anteilen. Ein Anteil entspricht 168 geteilt durch 8, also 21 Karten. Die erste Gruppe erhält drei Anteile und damit 63 Karten. Die zweite erhält fünf Anteile und damit 105 Karten.
Zwei Kontrollen sind möglich: 63 plus 105 ergibt die Gesamtmenge 168. Außerdem lässt sich das Verhältnis 63 zu 105 durch 21 kürzen und ergibt wieder 3 zu 5. Beide ursprünglichen Bedingungen sind erfüllt.
Typischer Fehler: Drei Fünftel von 168 berechnen und den Rest vergeben. Das Verhältnis 3 zu 5 beschreibt den Vergleich der beiden Gruppen. Es bedeutet nicht, dass die erste Gruppe drei Fünftel der Gesamtmenge erhält. Ihr Anteil an der Gesamtmenge ist drei Achtel.
Eine kleine Skizze mit acht gleich großen Kästchen kann diesen Unterschied verdeutlichen. Drei Kästchen gehören zur ersten, fünf zur zweiten Gruppe. Für kompliziertere Zahlen bleibt die Beziehung dieselbe. Du musst kein neues Verfahren erfinden, wenn die Gesamtmenge größer wird.
Beispiel 4: Zwei Bedingungen in einer Gleichung verbinden
Eigene Übungsaufgabe: Für eine Veranstaltung werden 30 Tickets verkauft. Ein normales Ticket kostet 18 Franken, ein ermäßigtes 12 Franken. Insgesamt werden 450 Franken eingenommen. Wie viele normale Tickets wurden verkauft?
Nenne die Anzahl normaler Tickets x. Dann gibt es 30 minus x ermäßigte Tickets. Die Einnahmen lauten daher: 18x plus 12 mal (30 minus x) gleich 450.
Ausmultipliziert erhältst du 18x plus 360 minus 12x gleich 450. Zusammengefasst sind das 6x gleich 90. Also wurden 15 normale Tickets verkauft. Für die ermäßigten Tickets bleiben ebenfalls 15. Die Kontrolle lautet 15 mal 18 plus 15 mal 12 gleich 270 plus 180 gleich 450.
Du kannst die Aufgabe auch ohne formale Gleichung lösen. Wenn alle 30 Tickets ermäßigt wären, ergäben sich 360 Franken. Es fehlen 90 Franken. Jedes normale Ticket bringt gegenüber einem ermäßigten sechs Franken zusätzlich. 90 geteilt durch 6 ergibt 15 normale Tickets.
Beide Wege sind sinnvoll. Die Gleichung macht die Bedingungen systematisch sichtbar; die Vergleichsrechnung nutzt eine einfache Ausgangssituation. Entscheidend ist, dass du erklären kannst, warum der Unterschied pro Ticket sechs Franken beträgt.
Beispiel 5: Einen gewichteten Durchschnitt berechnen
Eigene Übungsaufgabe: In einem Kurs gibt es zwei Gruppen. Gruppe A hat 12 Personen und erzielt in einer eigenen Übung durchschnittlich 70 Punkte. Gruppe B hat 18 Personen und erreicht durchschnittlich 80 Punkte. Wie hoch ist der gemeinsame Durchschnitt?
Die Gruppen sind unterschiedlich groß. Deshalb reicht es nicht, 70 und 80 zu addieren und durch zwei zu teilen. Berechne die Punktesummen: Gruppe A kommt auf 12 mal 70 gleich 840 Punkte, Gruppe B auf 18 mal 80 gleich 1.440 Punkte. Zusammen sind es 2.280 Punkte bei 30 Personen.
Der gemeinsame Durchschnitt beträgt damit 76 Punkte. Er liegt zwischen 70 und 80 und näher am Durchschnitt der größeren Gruppe B. Diese Lage ist eine gute Plausibilitätskontrolle.
Die Zahlen beschreiben ausschließlich diese eigene Übung. Sie sind keine HSG-Bewertungsskala und keine Zulassungsgrenze. Das mathematische Prinzip gilt allgemein für Mittelwerte, wenn Gruppen unterschiedlich stark gewichtet werden müssen.
Typischer Fehler: Ungewichteter Mittelwert 75. Er wäre nur dann der gemeinsame Durchschnitt, wenn beide Gruppen gleich groß wären oder wenn ausdrücklich die beiden Gruppenmittelwerte als gleich gewichtete Größen betrachtet werden sollten. Die genaue Frage entscheidet, welche Gewichtung passt.
Beispiel 6: Arbeitsraten statt Arbeitszeiten addieren
Eigene Übungsaufgabe: Drucker A benötigt für einen Auftrag allein sechs Stunden, Drucker B allein drei Stunden. Beide arbeiten unter vereinfachten Bedingungen mit gleichbleibender Geschwindigkeit und ohne gegenseitige Behinderung. Wie lange benötigen sie gemeinsam?
Drucker A erledigt pro Stunde ein Sechstel des Auftrags. Drucker B erledigt pro Stunde ein Drittel. Gemeinsam schaffen sie ein Sechstel plus ein Drittel, also eine Hälfte des Auftrags pro Stunde. Für einen vollständigen Auftrag brauchen sie daher zwei Stunden.
Die Arbeitszeiten sechs und drei zu addieren oder ihren Durchschnitt zu bilden würde die Situation nicht beschreiben. Gleichzeitig arbeitende Geräte tragen mit ihren Raten zur gemeinsamen Leistung bei. Die Annahmen der Aufgabe sind dabei wichtig: Wenn ein gemeinsamer Arbeitsschritt beide Geräte blockieren würde, bräuchte das Modell zusätzliche Angaben.
Die Gegenprüfung ist anschaulich: In zwei Stunden schafft A ein Drittel und B zwei Drittel. Zusammen ist der Auftrag vollständig erledigt. Außerdem muss die gemeinsame Zeit kürzer als die drei Stunden des schnelleren einzelnen Druckers sein, solange beide tatsächlich gleichzeitig beitragen.
Beispiel 7: Einheiten vor dem Vergleich vereinheitlichen
Eigene Übungsaufgabe: Ein Behälter enthält 1,8 Liter Saft. Es werden zwölf Gläser mit jeweils 125 Millilitern gefüllt. Wie viel bleibt übrig?
Wandle zunächst 1,8 Liter in 1.800 Milliliter um. Zwölf Gläser benötigen zwölf mal 125 gleich 1.500 Milliliter. Übrig bleiben 300 Milliliter, also 0,3 Liter.
Die Umrechnung ist Teil der Aufgabe und kein nachträglicher Zusatz. Eine Rechnung wie 1,8 minus 1.500 vermischt Einheiten. Sie kann auf dem Taschenrechner ausgeführt werden, beschreibt aber keine sinnvolle Subtraktion der gegebenen Mengen.
Notiere bei Größen daher zumindest an entscheidenden Stellen die Einheit. Bei einer Geschwindigkeit kommen zusätzlich Zeit- und Streckeneinheiten zusammen. Frage dann, ob du beispielsweise Minuten und Stunden noch vereinheitlichen musst. Ein unerwartet großer oder kleiner Wert kann auf einen solchen Einheitenfehler hindeuten.
Beispiel 8: Eine Bedingung rückwärts prüfen
Eigene Übungsaufgabe: Ein Kurs soll nach einer Erhöhung um 25 Prozent insgesamt 60 Plätze anbieten. Wie viele Plätze hatte er zuvor?
Nenne die ursprüngliche Zahl x. Nach der Erhöhung sind es 1,25x Plätze. Die Gleichung lautet deshalb 1,25x gleich 60. Durch Division erhältst du 48 ursprüngliche Plätze. Die Gegenprobe: 25 Prozent von 48 sind zwölf; 48 plus zwölf ergibt 60.
Ein Abzug von 25 Prozent des Endwerts wäre falsch. Dabei würdest du 15 abziehen und 45 erhalten. Die Erhöhung bezog sich aber auf den früheren Wert, nicht auf den späteren. Dieses Beispiel ist die Umkehrung einer Vorwärtsrechnung und trainiert deshalb eine andere Entscheidung als das bloße Berechnen eines Prozentsatzes.
Du kannst zum Verständnis mit einer einfachen Ausgangsmenge von 100 arbeiten: Eine Erhöhung um 25 Prozent führt zu 125. Um von 125 wieder zu 100 zu kommen, muss der Endwert durch 1,25 geteilt werden. Übertrage diese Beziehung anschließend auf die eigentliche Aufgabe. Die Beispielzahl dient nur dazu, das Modell sichtbar zu machen.
Schätzen als Kontrolle, nicht als Zufallsersatz
Eine grobe Schätzung hilft dir zu beurteilen, ob ein Ergebnis in einer plausiblen Größenordnung liegt. Sie ersetzt eine genaue Rechnung nur, wenn die Frage und die Antwortmöglichkeiten diese Genauigkeit zulassen. Lerne deshalb, zwischen einer Kontrollschätzung und einer ausreichenden Lösung zu unterscheiden.
Bei 19 mal 4,90 kannst du beispielsweise mit 20 mal 5 gleich 100 vergleichen. Der genaue Wert 93,10 liegt etwas darunter und erscheint plausibel. Ein Ergebnis von 9,31 würde auf eine verrutschte Dezimalstelle hindeuten. Wenn zwei Antwortmöglichkeiten sehr nah beieinanderliegen, reicht die Schätzung allein jedoch möglicherweise nicht.
Runde außerdem bewusst. Wer mehrere Größen gleichzeitig stark vereinfacht, kann den Schätzfehler verstärken. Wenn du eine Zahl auf- und eine andere abrundest, heben sich die Fehler nicht automatisch auf. Beschreibe bei wichtigen Entscheidungen, in welche Richtung die Vereinfachung wirkt.
Antwortmöglichkeiten richtig nutzen
Bei einer eigenen Multiple-Choice-Übung können Antwortmöglichkeiten helfen, grobe Fehler zu erkennen. Prüfe zunächst die Einheit und mögliche Größenordnung. Wenn nach einem Anteil gefragt ist, muss das Ergebnis zum beschriebenen Ganzen passen. Wenn nach ganzen Personen gefragt ist, kann ein negativer oder gebrochener Wert Anlass sein, den Ansatz zu überprüfen.
Verlasse dich aber nicht darauf, dass eine bestimmte Antwort „typisch aussieht“. Eine falsche Alternative kann genau aus einem naheliegenden Rechenfehler entstanden sein. Benutze die Optionen als zusätzliche Kontrolle, nicht als Ersatz für das Verständnis der Frage.
Eine nützliche Übung besteht darin, selbst eine falsche Antwort zu erklären. Bei der Verhältnisaufgabe wäre beispielsweise ein falscher Grundwert denkbar. Wenn du den Fehlerweg benennen kannst, erkennst du ihn später eher. Ziel ist dabei nicht, möglichst raffinierte Fallen zu vermuten, sondern die mathematische Bedeutung im Blick zu behalten.
Aus einer Lösung eine übertragbare Methode machen
Um aus unseren Beispielen weiterzulernen, empfehlen wir drei Variationen. Ändere zuerst nur die Zahlen. Ändere danach den sprachlichen Kontext. Verändere zuletzt eine Bedingung, sodass du prüfen musst, ob der alte Rechenweg weiterhin gilt. Diese Reihenfolge macht sichtbar, ob du die Beziehung verstanden hast oder vor allem eine bekannte Lösung wiedererkennst.
Bei der Stückpreisaufgabe könnte die letzte Veränderung ein fester Versandbetrag sein. Dann besteht der Gesamtpreis aus einem festen und einem variablen Anteil. Ein proportionaler Dreisatz mit dem Gesamtbetrag wäre nicht mehr ohne Weiteres richtig. Genau solche Unterschiede machen aus einer bekannten Rechnung eine echte Denkaufgabe.
Erkläre nach der Variation, welcher Teil des Modells unverändert blieb und welcher angepasst werden musste. Du kannst das schriftlich oder mündlich tun. Eine kurze klare Erklärung ist ausreichend; du musst keine lange Musterlösung reproduzieren.
Eine eigene Übungsroutine für eine Woche
Plane drei Einheiten mit unterschiedlichen Zwecken. In der ersten bearbeitest du wenige Aufgaben langsam und erklärst jeden Ansatz. In der zweiten löst du neue ähnliche Aufgaben ohne vorherige Musterlösung. In der dritten mischst du mehrere Methoden und prüfst, ob du die passende selbst erkennst.
Führe ein kurzes Fehlerjournal. Notiere nicht nur „Prozentrechnung“, sondern die genaue Fehlentscheidung: falsche Basis, Prozent und Prozentpunkte verwechselt oder Veränderung auf den falschen Zwischenwert angewandt. Ergänze eine neue Aufgabe, mit der du diese Entscheidung später noch einmal überprüfst.
Wenn die Methoden sicherer werden, kannst du die Bearbeitungszeit beobachten. Die Zeitmanagement-Anleitung zeigt, wie du unnötige Umwege erkennst. Für eine gemischte Anwendung bietet sich unser Paket eigener Beispielaufgaben an.
Weiterlernen mit einem klaren Schwerpunkt
Wähle aus diesem Beitrag die Aufgabe, bei der dein erster Ansatz am unsichersten war. Schreibe die Beziehung in eigenen Worten auf und löse anschließend eine Zahlenvariante. Das ist ein konkreter nächster Lernschritt, auch wenn du heute nur wenig Zeit hast.
Wenn du ergänzende Materialien suchst, kannst du unsere Vorbereitung ansehen. Prüfe, ob die aktuell beschriebenen Inhalte zu deinem Schwerpunkt passen. Lege dabei denselben Maßstab an wie bei den Beispielen hier: Eine hilfreiche Aufgabensammlung liefert nicht nur eine Endantwort, sondern ermöglicht dir, den Weg zu verstehen und ihn auf eine neue Situation zu übertragen.
