Wir haben für dich acht Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen entwickelt. Mit diesem Aufgabenpaket der Zulassungscoach-Redaktion kannst du Rechenbeziehungen, Tabellenangaben und typische Fehlentscheidungen prüfen. Alle Aufgaben sind ohne Registrierung lesbar. Bearbeite sie zunächst selbst und sieh dir die Lösungen erst danach an: Für deinen nächsten Lernschritt zählt nicht nur die richtige Antwort, sondern auch, ob du den Ansatz selbst gefunden hast.
Die Aufgaben orientieren sich thematisch an quantitativem Problemlösen sowie Diagrammen und Tabellen, die die HSG als Testbereiche nennt. Sie sind keine Originalfragen, keine vollständige Testsimulation und keine Grundlage für eine Zulassungsprognose. Den offiziellen Übungstest erreichst du über die Auswahlseite der HSG.
So nutzt du das Aufgabenpaket
Lege ein Blatt mit acht Zeilen an. Schreibe für jede Aufgabe deine Antwort, den Ansatz und deine Sicherheit auf. Verwende beispielsweise „sicher begründet“, „unsicher“ oder „geraten“. Ein zufällig richtiges Ergebnis ist für deine Lernplanung etwas anderes als eine verstandene Lösung.
Für die erste Runde brauchst du kein strenges Zeitlimit. Ziel ist, deinen Denkweg sichtbar zu machen. Wenn du später eine neue Runde mit Zeitmessung bearbeitest, notiere die Bedingungen getrennt. Aus der Anzahl richtiger Antworten in diesem kleinen Paket ergibt sich keine HSG-Punktzahl und keine offizielle Bestehensgrenze.
Wir haben die Antwortmöglichkeiten so gewählt, dass auch typische Fehler zu einer angebotenen Zahl führen können. Versuche daher, deinen Rechenweg zu erklären, statt eine plausibel aussehende Zahl auszuwählen. In unseren Lösungen zeigen wir dir auch, wie mehrere falsche Antworten entstehen. So kannst du eine konkrete Fehlentscheidung erkennen und gezielt daran weiterarbeiten.
Aufgabe 1: Lieferkosten vergleichen
Ein Anbieter berechnet für einen Druckauftrag einen festen Grundpreis von 18 Franken und zusätzlich 0,12 Franken pro Seite. Ein zweiter Anbieter verlangt keinen Grundpreis, aber 0,18 Franken pro Seite. Bei welcher Seitenzahl kosten beide Angebote gleich viel?
A: 100 Seiten · B: 150 Seiten · C: 300 Seiten · D: 600 Seiten
Notiere vor der Rechnung, welche Kosten fest und welche von der Seitenzahl abhängig sind. Die Seitenzahl darf in diesem vereinfachten Modell als ganze positive Zahl betrachtet werden.
Aufgabe 2: Einen Rabatt rückwärts berechnen
Ein Rucksack kostet nach einem Rabatt von 20 Prozent noch 72 Franken. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
A: 86,40 Franken · B: 90 Franken · C: 92 Franken · D: 360 Franken
Achte darauf, ob du vom ursprünglichen Preis zum reduzierten Preis oder in die andere Richtung rechnest. Die Aufgabe nennt den Endpreis, nicht den Ausgangspreis.
Aufgabe 3: Aus einem Verhältnis eine Anzahl bestimmen
In einer Gruppe stehen die Anzahlen von Personen mit Fahrrad und Personen ohne Fahrrad im Verhältnis 4 zu 3. Insgesamt gehören 84 Personen zur Gruppe. Wie viele haben ein Fahrrad?
A: 36 · B: 42 · C: 48 · D: 63
Die beiden Gruppen sind in diesem Beispiel vollständig und überschneiden sich nicht. Jede Person gehört genau einer Gruppe an.
Aufgabe 4: Zwei aufeinanderfolgende Veränderungen
Die Zahl der Anmeldungen für einen erfundenen Kurs beträgt zunächst 150. Im folgenden Zeitraum steigt sie um 20 Prozent. Danach sinkt sie gegenüber diesem erhöhten Wert um 10 Prozent. Wie viele Anmeldungen bleiben?
A: 150 · B: 162 · C: 165 · D: 180
Beziehe jede Veränderung auf den Wert, auf den sie sich sprachlich bezieht. Für diese Aufgabe brauchst du keine Annahme über echte Kursbuchungen oder Stornoregeln.
Datentabelle für die Aufgaben 5 und 6
Eine erfundene Bibliothek zählt Ausleihen in zwei Kategorien. Die Zahlen geben Ausleihvorgänge an; dieselbe Person kann mehrfach ausleihen.
| Quartal | Sachbücher | Romane | Insgesamt |
|---|---|---|---|
| Erstes Quartal | 240 | 360 | 600 |
| Zweites Quartal | 300 | 450 | 750 |
| Drittes Quartal | 360 | 540 | 900 |
Prüfe vor der Bearbeitung die Einheiten und die Bedeutung der Zeilen. Es handelt sich weder um Besucherzahlen noch um eine Erhebung darüber, wie viele unterschiedliche Titel vorhanden sind.
Aufgabe 5: Relative Veränderung lesen
Um wie viel Prozent steigt die Gesamtzahl der Ausleihen vom ersten zum dritten Quartal?
A: 25 Prozent · B: rund 33,3 Prozent · C: 50 Prozent · D: 300 Prozent
Gib bei deinem Rechenweg ausdrücklich an, welcher Wert als Ausgangsbasis verwendet wird.
Aufgabe 6: Eine belegte Aussage auswählen
Welche Aussage folgt aus der Tabelle?
A: Im dritten Quartal besuchen 900 verschiedene Personen die Bibliothek.
B: Der Anteil der Sachbuchausleihen beträgt in allen drei Quartalen 40 Prozent.
C: Romane werden im dritten Quartal von doppelt so vielen verschiedenen Personen ausgeliehen wie Sachbücher.
D: Die Zahl der vorhandenen Romantitel steigt in jedem Quartal.
Hier geht es nicht nur um Rechnen. Prüfe, welche Art von Information die Tabelle tatsächlich enthält und welche zusätzliche Information die Aussagen voraussetzen würden.
Datentabelle für die Aufgaben 7 und 8
Zwei Gruppen nehmen an einer erfundenen Lernveranstaltung teil. Erfasst werden die Personenzahl, die durchschnittliche Teilnahmezeit und die Zahl abgegebener Rückmeldungen.
| Gruppe | Personen | Durchschnittliche Teilnahmezeit | Rückmeldungen |
|---|---|---|---|
| A | 20 | 90 Minuten | 15 |
| B | 30 | 60 Minuten | 18 |
Alle Personen werden für den Durchschnitt genau einmal gezählt. Die Rückmeldungen sind eine andere Größe und nicht die Grundlage für die Gewichtung der Teilnahmezeit.
Aufgabe 7: Den gemeinsamen Durchschnitt finden
Wie hoch ist die durchschnittliche Teilnahmezeit über alle 50 Personen?
A: 72 Minuten · B: 75 Minuten · C: 78 Minuten · D: 150 Minuten
Überlege vor der Rechnung, ob beide Gruppen gleich groß sind. Eine Mittelung der zwei angegebenen Durchschnittswerte ist nicht in jedem Fall der gesuchte Gesamtdurchschnitt.
Aufgabe 8: Rückmeldeanteile vergleichen
Wie groß ist die Differenz zwischen den Rückmeldeanteilen von Gruppe A und Gruppe B, gemessen in Prozentpunkten?
A: 3 Prozentpunkte · B: 15 Prozentpunkte · C: 25 Prozentpunkte · D: 33 Prozentpunkte
Berechne die Anteile innerhalb der jeweiligen Gruppe. Die Differenz zwischen den absoluten Rückmeldungszahlen beantwortet eine andere Frage.
Lösung 1: Fixkosten und variable Kosten verbinden
Richtig ist C: 300 Seiten. Nenne die Seitenzahl x. Der erste Preis lautet 18 plus 0,12x, der zweite 0,18x. Für gleiche Kosten setzt du beide Ausdrücke gleich: 18 plus 0,12x gleich 0,18x. Nach Abziehen von 0,12x bleibt 18 gleich 0,06x. Damit ist x gleich 300.
Die Gegenprobe liefert beim ersten Anbieter 18 plus 36 gleich 54 Franken. Beim zweiten sind es 300 mal 0,18, ebenfalls 54 Franken. Beide ursprünglichen Preisregeln führen also zum gleichen Betrag.
Die Antwort 100 kann entstehen, wenn du den Grundpreis durch den gesamten Seitenpreis des zweiten Anbieters teilst. Entscheidend ist jedoch die Preisdifferenz pro Seite von sechs Rappen. Mit jeder Seite holt der erste Anbieter sechs Rappen seines höheren Startpreises auf.
Für deine Lernnotiz: Ein fester Preisbestandteil lässt sich nicht mit einem einfachen Dreisatz über den Gesamtpreis behandeln. Du musst ihn von dem mengenabhängigen Anteil unterscheiden. Als Zusatzfrage kannst du berechnen, welcher Anbieter bei 200 und bei 400 Seiten günstiger wäre.
Lösung 2: Vom Endwert zum Grundwert zurückgehen
Richtig ist B: 90 Franken. Nach 20 Prozent Rabatt bleiben 80 Prozent des ursprünglichen Preises. Die 72 Franken entsprechen daher 0,8 mal dem Grundwert. Teile 72 durch 0,8 und erhalte 90.
Die Gegenprobe ist einfach: 20 Prozent von 90 sind 18. Nach dem Abzug bleiben 72 Franken. Die Antwort 86,40 entsteht, wenn du auf den reduzierten Preis einfach 20 Prozent aufschlägst. Dabei verwendest du die falsche Basis. Der ursprüngliche Rabatt bezog sich auf 90, nicht auf 72.
Diese Aufgabe zeigt, warum „Rabatt rückgängig machen“ nicht automatisch „gleichen Prozentsatz addieren“ bedeutet. Der reduzierte Preis muss um 25 Prozent steigen, um wieder 90 zu erreichen: 18 geteilt durch 72 ergibt 0,25.
Notiere die Beziehung gern zuerst in Worten: Endpreis gleich 80 Prozent des Anfangspreises. Erst daraus folgt die Division. So bleibt der Rechenweg auch dann nachvollziehbar, wenn andere Prozentsätze oder nicht so glatte Zahlen verwendet werden.
Lösung 3: Das Ganze besteht aus sieben Anteilen
Richtig ist C: 48 Personen. Das Verhältnis 4 zu 3 umfasst sieben Anteile. Ein Anteil entspricht 84 geteilt durch 7 gleich 12 Personen. Vier Anteile ergeben 48 Personen mit Fahrrad; drei Anteile ergeben 36 ohne Fahrrad.
Die Summenkontrolle liefert 48 plus 36 gleich 84. Die Verhältnisprüfung liefert 48 zu 36, gekürzt durch zwölf also 4 zu 3. Beide Bedingungen passen.
Die Zahl 36 ist die Größe der anderen Gruppe. Wenn du sie gewählt hast, war dein Rechenmodell möglicherweise richtig, aber du hast die gesuchte Gruppe verwechselt. Das ist für die Fehlerauswertung ein anderer Befund als eine grundsätzlich falsche Verhältnisrechnung.
Eine kleine Skizze mit sieben gleich großen Feldern hilft, die Gesamtmenge sichtbar zu machen. Markiere vier Felder für die gesuchte Gruppe. Versuche anschließend eine eigene Variante mit einem Verhältnis von 2 zu 5 und einer Gesamtmenge von 98; der gesuchte Zweieranteil beträgt dann 28.
Lösung 4: Veränderungsfaktoren nacheinander anwenden
Richtig ist B: 162 Anmeldungen. Zuerst rechnest du 150 mal 1,20 gleich 180. Danach bleiben 90 Prozent dieses neuen Werts: 180 mal 0,90 gleich 162.
Die Gesamtveränderung beträgt zwölf gegenüber dem ursprünglichen Wert 150. Das entspricht acht Prozent. Über die Faktoren kannst du das kontrollieren: 1,20 mal 0,90 ergibt 1,08.
Die Antwort 165 entsteht, wenn du 20 Prozent minus zehn Prozent rechnest und anschließend von einer Gesamtsteigerung um zehn Prozent ausgehst. Dabei übersiehst du, dass die Senkung den erhöhten Zwischenwert betrifft. Die Antwort 180 berücksichtigt nur den ersten Schritt.
Schreibe bei mehrstufigen Veränderungen jeden Zwischenwert mit einer kurzen Bezeichnung auf. „Nach Anstieg“ und „nach Rückgang“ verhindern, dass du versehentlich wieder auf den ursprünglichen Wert zurückgreifst. Für die Prüfung des Ergebnisses muss der Endwert kleiner als 180 sein, weil im zweiten Schritt eine Senkung erfolgt.
Lösung 5: Den Zuwachs auf das erste Quartal beziehen
Richtig ist C: 50 Prozent. Die Gesamtzahl steigt von 600 auf 900. Der Zuwachs beträgt 300. Geteilt durch den Ausgangswert 600 ergibt das 0,5, also 50 Prozent.
Rund 33,3 Prozent entstehen, wenn du die 300 durch 900 teilst. Das misst den Zuwachs als Anteil des Endwerts. Die Antwort 300 Prozent verwechselt dagegen die absolute Differenz 300 mit einer relativen Angabe.
Prüfe bei Veränderungen immer drei Bestandteile: Ausgangswert, Endwert und Differenz. Schreibe sie bei schwierigen Aufgaben untereinander auf. Die Frage „gegenüber welchem Zeitpunkt?“ entscheidet darüber, welcher Wert im Nenner steht.
Als eigene Zusatzaufgabe kannst du den Übergang vom ersten zum zweiten Quartal berechnen. 150 zusätzliche Ausleihen auf der Basis 600 ergeben 25 Prozent. Vom zweiten zum dritten Quartal steigt die Zahl ebenfalls um 150, relativ zur Basis 750 aber nur um 20 Prozent. Gleiche absolute Schritte sind nicht automatisch gleiche relative Schritte.
Lösung 6: Die Datenart begrenzt die Aussage
Richtig ist B. Sachbücher machen im ersten Quartal 240 von 600, im zweiten 300 von 750 und im dritten 360 von 900 aus. Jeder dieser Brüche ergibt 40 Prozent.
A ist nicht belegt, weil Ausleihvorgänge keine Zahl unterschiedlicher Personen liefern. C setzt ebenfalls Informationen über einzelne Personen voraus, die fehlen; zudem sind die Ausleihzahlen 540 und 360 nicht im Verhältnis zwei zu eins. D spricht über vorhandene Titel, obwohl die Tabelle nur Vorgänge erfasst.
Eine falsche Aussage kann also aus zwei Gründen ausscheiden: Sie widerspricht den Zahlen oder sie verlangt Informationen, die gar nicht vorliegen. Bei deiner Auswertung ist diese Unterscheidung nützlich. Im zweiten Fall musst du nicht länger rechnen, sondern die fehlende Datengrundlage benennen.
Die Lernfrage lautet: Was kann ich aus dieser Tabelle sicher sagen, und welche Deutung geht darüber hinaus? Eine sorgfältige Antwort muss nicht mehr behaupten, als die Darstellung tatsächlich hergibt.
Lösung 7: Nach Personen gewichten
Richtig ist A: 72 Minuten. Gruppe A trägt 20 mal 90 gleich 1.800 Personenminuten bei, Gruppe B 30 mal 60 ebenfalls 1.800. Insgesamt sind das 3.600 Personenminuten. Geteilt durch 50 Personen ergeben sich 72 Minuten.
Der Wert liegt zwischen 60 und 90 und näher an den 60 Minuten der größeren Gruppe B. Das ist plausibel. Die Antwort 75 ist der ungewichtete Mittelwert der beiden Gruppenwerte. Er wäre bei gleich großen Gruppen passend, nicht bei 20 und 30 Personen.
Verwende für die Gewichtung die Personenzahlen, auf die sich die Teilnahmezeit bezieht. Die Rückmeldungszahlen aus derselben Tabelle haben für diese Frage keine Funktion. Nicht jede verfügbare Spalte muss in jede Rechnung eingehen.
Eine hilfreiche Gegenprobe besteht darin, den berechneten Durchschnitt wieder mit der Gesamtzahl zu multiplizieren: 72 mal 50 ergibt 3.600. Damit stimmt die Gesamtzeit mit der Summe beider Gruppen überein.
Lösung 8: Erst Anteile, dann Prozentpunkte
Richtig ist B: 15 Prozentpunkte. In Gruppe A beträgt der Rückmeldeanteil 15 geteilt durch 20 gleich 75 Prozent. In Gruppe B sind es 18 geteilt durch 30 gleich 60 Prozent. Die Differenz lautet 75 minus 60 gleich 15 Prozentpunkte.
Die drei zusätzlichen Rückmeldungen in Gruppe B sagen nichts über den Unterschied der Anteile aus, solange du die Gruppengrößen ignorierst. Gruppe B hat absolut mehr Rückmeldungen, relativ jedoch einen kleineren Anteil.
Eine andere Frage wäre die relative Erhöhung von 60 auf 75 Prozent. Sie beträgt 15 geteilt durch 60 gleich 25 Prozent. Diese Zahl gehört aber nicht zur gestellten Frage nach Prozentpunkten. Die Antwortmöglichkeiten machen sichtbar, warum du den genauen Wortlaut bis zum Schluss beachten solltest.
Auswertung: Eine konkrete Übung statt einer vermeintlichen Prognose
Für die Auswertung empfehlen wir dir, neben den richtigen Antworten jede Aufgabe mit einem unsicheren Ansatz zu markieren. Ordne die Probleme dann nach ihrer Ursache: falsche Bezugsgröße, feste und variable Kosten vermischt, Gewichtung übersehen, Datenart falsch gelesen oder Rechenfehler. Damit nutzt du unsere Lösungserklärungen als Ausgangspunkt für deine nächste Übung und nicht nur zum Abhaken einer Zahl.
Wähle einen Schwerpunkt und löse eine neue Variante. Wenn du etwa Aufgabe 7 falsch hattest, verändere die Gruppengrößen und begründe, wohin sich der gemeinsame Durchschnitt verschieben müsste. Prüfe die Vermutung anschließend rechnerisch. So verbindest du Verständnis und Kontrolle.
Für weitere Erklärungen helfen dir unsere Beiträge zu quantitativen Methoden, Tabellen und Diagrammen und zur Probetest-Auswertung. Du kannst außerdem unsere Testvorbereitung ansehen und den aktuellen Umfang mit deinem Bedarf vergleichen. Mit diesen acht eigenen Aufgaben geben wir dir einen Lernanstoß, keinen Bescheid über deine spätere Zulassung.
