In diesem Mathe-Leitfaden beginnen wir bei Zulassungscoach mit dem Rechenansatz, nicht mit dem Tempo. An Prozentrechnung, Verhältnissen, Einheiten und einfachen Gleichungen zeigen wir dir, wie du aus einem Text den passenden Zusammenhang erkennst und dein Ergebnis an der Frage prüfst. Diese Grundlagen helfen dir beim Üben quantitativer Aufgaben. Schnell zu rechnen bringt wenig, wenn die Bezugsgröße oder die Einheit nicht stimmt.
Wir haben die Themen didaktisch ausgewählt und sämtliche Aufgaben für diesen Artikel selbst erstellt. Die Zusammenstellung ist kein vollständiger offizieller Stoffkatalog. Informationen zum tatsächlichen Auswahlverfahren findest du bei der Universität St. Gallen.
Eine kurze Standortbestimmung
Versuche zunächst diese drei Fragen ohne Blick auf die Lösungen:
- Ein Preis steigt von 80 auf 100 Euro. Wie groß ist die prozentuale Erhöhung?
- Eine Gesamtmenge von 35 Litern wird im Verhältnis 2 zu 5 aufgeteilt. Wie groß sind die beiden Teile?
- Ein Angebot kostet 12 Euro Grundbetrag und zusätzlich 3 Euro je Einheit. Wie viele Einheiten erhältst du für insgesamt 39 Euro?
Die Antworten sind 25 Prozent, 10 und 25 Liter sowie 9 Einheiten. Falls du eine Antwort nicht begründen kannst, beginne mit dem passenden Abschnitt. Wenn alle drei Antworten leichtfallen, prüfe trotzdem deine Erklärung: Kannst du sagen, weshalb du gerade diese Rechnung verwendest?
Für die folgenden Aufgaben empfehlen wir dir, zunächst „gegeben“ und „gesucht“ aufzuschreiben. So ordnest du die Zahlen nach ihrer Bedeutung, nicht nur nach ihrem Auftreten im Text. Eine zusätzliche Notiz zur Einheit hilft, Ergebnisse wie Liter, Euro und Prozent auseinanderzuhalten.
Prozentrechnung: Den Grundwert bewusst wählen
Ein Prozent bedeutet ein Hundertstel. Für die Rechnung gilt: Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz. Wenn du den Prozentsatz als Dezimalzahl einsetzt, entspricht beispielsweise 15 Prozent dem Faktor 0,15.
Eigene Beispielaufgabe: Von 240 Anmeldungen entfallen 15 Prozent auf einen bestimmten Kurs. Wie viele Anmeldungen sind das? Du rechnest 240 × 0,15 = 36. Gesucht ist eine Anzahl, keine Prozentzahl. Die Antwort lautet deshalb 36 Anmeldungen.
Wenn stattdessen 36 Anmeldungen und ein Anteil von 15 Prozent gegeben sind, suchst du den Grundwert. Dann lautet die Rechnung 36 ÷ 0,15 = 240. Die Richtung der Frage entscheidet darüber, ob du multiplizierst oder dividierst.
Eine Veränderung bezieht sich auf den Ausgangswert
Bei einer Erhöhung von 80 auf 100 beträgt die absolute Veränderung 20. Die relative Veränderung berechnest du mit 20 ÷ 80 = 0,25. Das sind 25 Prozent. Der Ausgangswert 80 ist hier die Bezugsgröße.
Wenn der Wert anschließend von 100 auf 80 sinkt, beträgt der Rückgang ebenfalls 20 Einheiten, relativ aber nur 20 ÷ 100 = 20 Prozent. Gleiche absolute Veränderungen können unterschiedliche Prozentwerte ergeben, weil sich der Ausgangswert verändert.
Eine hilfreiche Probe lautet: Ausgangswert × Änderungsfaktor = Endwert. Für die Erhöhung gilt 80 × 1,25 = 100. Für den Rückgang gilt 100 × 0,80 = 80. Diese Gegenprobe zeigt dir zugleich, ob dein Ergebnis zur Richtung der Veränderung passt.
Aufeinanderfolgende Änderungen werden multipliziert
Ein Preis von 200 Euro wird zuerst um 10 Prozent erhöht und danach um 10 Prozent reduziert. Nach der Erhöhung beträgt er 200 × 1,10 = 220 Euro. Danach ergeben sich 220 × 0,90 = 198 Euro.
Die beiden Änderungen heben sich nicht auf. Der zweite Prozentsatz bezieht sich auf 220 Euro und damit auf einen anderen Grundwert. Insgesamt gilt 1,10 × 0,90 = 0,99; der Endpreis liegt also ein Prozent unter dem ursprünglichen Wert.
Prozent und Prozentpunkte unterscheiden
Steigt ein Anteil von 20 Prozent auf 25 Prozent, beträgt die Differenz fünf Prozentpunkte. Die relative Erhöhung des Anteils beträgt dagegen 5 ÷ 20 = 25 Prozent. Beide Aussagen sind korrekt, beantworten jedoch verschiedene Fragen.
Formuliere die gewünschte Aussage vollständig: „Der Anteil steigt um fünf Prozentpunkte“ beschreibt die Differenz der Prozentangaben. „Der Anteil ist um 25 Prozent größer als zuvor“ beschreibt die relative Änderung. Ohne diese Unterscheidung kann eine Rechnung richtig aussehen und trotzdem die Frage verfehlen.
Eigene Kontrollaufgabe: Eine Quote fällt von 40 Prozent auf 30 Prozent. Sie sinkt um zehn Prozentpunkte. Bezogen auf die Ausgangsquote beträgt der Rückgang 10 ÷ 40 = 25 Prozent. Prüfe bei Diagrammen und Tabellen deshalb immer, ob die Frage nach einer Differenz oder nach einer relativen Änderung fragt.
Verhältnisse in Anteile übersetzen
Das Verhältnis 2 zu 5 bedeutet zwei Teile der einen und fünf Teile der anderen Größe. Zusammen sind es sieben Teile. Bei einer Gesamtmenge von 35 Litern entspricht ein Teil 35 ÷ 7 = 5 Litern. Die Teilmengen sind 2 × 5 = 10 Liter und 5 × 5 = 25 Liter.
Ein häufiger Fehler ist, zwei Fünftel der Gesamtmenge zu nehmen. Zwei Fünftel beschreibt das Verhältnis der ersten Teilmenge zur zweiten, nicht ihren Anteil an der Summe. Der Anteil der ersten Teilmenge an der Gesamtmenge beträgt zwei Siebtel.
Nutze zwei Kontrollen: Die Teilmengen müssen sich zur Gesamtmenge addieren, und ihr Verhältnis muss zur Vorgabe passen. Hier gilt 10 + 25 = 35 und 10 ÷ 25 = 2 ÷ 5. Wenn nur eine der beiden Kontrollen passt, ist der Ansatz noch nicht vollständig geprüft.
Proportionalität nicht ungeprüft voraussetzen
Wenn drei gleichartige Hefte 12 Euro kosten und der Stückpreis unverändert bleibt, kosten fünf Hefte 20 Euro. Du berechnest zuerst 12 ÷ 3 = 4 Euro pro Heft und anschließend 5 × 4 = 20 Euro.
Die Annahme des konstanten Stückpreises gehört zur Aufgabe. Bei Mengenrabatten oder einem zusätzlichen Grundbetrag wäre dieselbe Dreisatzrechnung nicht automatisch richtig. Lies daher, ob sich eine Größe tatsächlich im gleichen Verhältnis verändert oder ob weitere Bedingungen genannt werden.
Einheiten vor der Rechnung angleichen
Eine Geschwindigkeit von 12 Kilometern pro Stunde lässt sich in Meter pro Sekunde umrechnen: 12 Kilometer entsprechen 12.000 Metern, eine Stunde 3.600 Sekunden. Damit ergibt sich 12.000 ÷ 3.600 = 10/3, also ungefähr 3,33 Meter pro Sekunde.
Nach fünf Minuten, also 300 Sekunden, wären bei gleichbleibender Geschwindigkeit 300 × 10/3 = 1.000 Meter zurückgelegt. Du kannst ebenso mit Stunden rechnen: fünf Minuten sind 1/12 Stunde; 12 × 1/12 = 1 Kilometer. Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.
Runde möglichst erst am Ende. Wenn du 3,33 zu früh statt 10/3 verwendest, entstehen kleine Rundungsabweichungen. Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe können grobe Überschläge hilfreich sein, doch dein exakter Lösungsweg sollte unnötige Rundungsfehler vermeiden.
Vorsicht bei Flächen
Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter hat eine Fläche von einem Quadratmeter. Weil ein Meter 100 Zentimetern entspricht, beträgt die Fläche 100 × 100 = 10.000 Quadratzentimeter. Der Umrechnungsfaktor für eine Fläche wird also ebenfalls quadriert.
Wenn du aus einem Text eine Einheit übernimmst, notiere auch, ob sie Länge, Fläche, Volumen oder eine Rate beschreibt. „Pro Stunde“ und „insgesamt“ sind keine austauschbaren Zusätze. Sie verändern, welche Rechnung zur gesuchten Größe führt.
Einfache Gleichungen aus Texten aufstellen
Eine Gleichung hilft, wenn eine unbekannte Größe in einem beschriebenen Zusammenhang vorkommt. Lege zuerst fest, wofür die Variable steht, und schreibe ihre Einheit dazu.
Eigene Beispielaufgabe: Ein Angebot kostet 12 Euro Grundbetrag und 3 Euro je Einheit. Der Gesamtpreis beträgt 39 Euro. Mit x als Anzahl der Einheiten lautet die Gleichung 12 + 3x = 39. Nach Abziehen von 12 folgt 3x = 27. Durch Teilen durch 3 erhältst du x = 9.
Die Probe setzt das Ergebnis in den Text zurück: 12 + 3 × 9 = 39 Euro. Diese Kontrolle ist mehr als ein formaler Schluss. Sie überprüft, ob die Variable wirklich die gesuchte Größe beschreibt.
Klammern und gemeinsame Faktoren erkennen
Ein Rechteck hat einen Umfang von 54 Zentimetern. Seine Länge ist drei Zentimeter größer als seine Breite. Setze die Breite x und die Länge x + 3. Für den Umfang gilt 2x + 2(x + 3) = 54.
Ausmultiplizieren ergibt 4x + 6 = 54, also 4x = 48 und x = 12. Die Breite beträgt 12 Zentimeter, die Länge 15 Zentimeter. Die Probe lautet 2 × 12 + 2 × 15 = 54. Die Fläche wäre 180 Quadratzentimeter, wurde hier aber nicht gefragt.
Gemischte eigene Übungen mit vollständigen Lösungen
Bearbeite die folgenden Aufgaben zunächst selbst. Entscheide vor der Rechnung, welcher Zusammenhang benötigt wird.
Aufgabe 1: Rabatt rückwärts
Nach einem Rabatt von 20 Prozent kostet ein Gegenstand 64 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
Lösung: Der Endpreis entspricht 80 Prozent des ursprünglichen Preises. Deshalb gilt 0,80x = 64. Teilen durch 0,80 ergibt x = 80 Euro. Eine Erhöhung von 64 um 20 Prozent wäre falsch, weil dabei 64 statt 80 als Grundwert verwendet würde.
Aufgabe 2: Zwei Gruppen
In einer Gruppe stehen Anfänger und Fortgeschrittene im Verhältnis 3 zu 2. Insgesamt sind es 45 Personen. Wie viele Anfänger gibt es?
Lösung: Insgesamt liegen fünf Teile vor. Ein Teil entspricht 45 ÷ 5 = 9 Personen. Drei Teile ergeben 27 Anfänger. Die übrigen 18 Personen sind Fortgeschrittene; 27 + 18 = 45 und 27:18 lässt sich zu 3:2 kürzen.
Aufgabe 3: Unterschiedliche Zeitangaben
Ein Gerät bearbeitet bei unveränderter Leistung 90 Einheiten in 15 Minuten. Wie viele Einheiten sind es in 40 Minuten?
Lösung: Pro Minute sind es 90 ÷ 15 = 6 Einheiten. In 40 Minuten ergeben sich 6 × 40 = 240 Einheiten. Die Aufgabe setzt eine konstante Leistung voraus; ohne diese Annahme wäre die Hochrechnung nicht begründet.
Aufgabe 4: Gesuchten Wert isolieren
Dreimal eine unbekannte Zahl, vermindert um 7, ergibt 29. Wie lautet die Zahl?
Lösung: Die Gleichung ist 3x − 7 = 29. Addiere 7 auf beiden Seiten: 3x = 36. Teile anschließend durch 3: x = 12. Die Kontrolle ergibt 3 × 12 − 7 = 29.
Aus den Übungen einen Lernschritt machen
Sortiere Fehler nach Ursache. Hast du die falsche Bezugsgröße gewählt, eine Einheit übersehen oder beim Umformen einen Rechenschritt ausgelassen? Wiederhole danach nicht nur dieselbe Zahlenkombination. Wähle eine neue Aufgabe, bei der du den Zusammenhang erneut erkennen musst.
Unsere Empfehlung für die weitere Arbeit bleibt dieselbe: Ansatz erklären, rechnen, prüfen. Wenn du alle drei Schritte zuverlässig beherrschst, kannst du in späteren Einheiten gezielter am Tempo arbeiten. In unserem Artikel zum quantitativen Problemlösen und der Auswertung von Probetests vertiefen wir diese Arbeitsweise.
Wenn dir für diesen Lernweg weitere Vorbereitungsmaterialien fehlen, kannst du unser Premium Bundle ansehen und den beschriebenen Umfang mit deinem Bedarf vergleichen. Die hier behandelten Grundlagen bleiben unsere didaktische Auswahl; sie ersetzen weder die offiziellen Verfahrensinformationen noch einen vollständigen individuellen Lernplan.
